Упр.43 ГДЗ Рабочая тетрадь Босова 9 класс (Информатика)
Рассмотрите рисунок. Кружками обозначены вершины графа; в кружки вписаны имена вершин. Вершины соединены линиями (рёбрами графа); над рёбрами обозначены их веса — длины пути. Рядом с каждой вершиной указана метка — длина кратчайшего пути в эту вершину из вершины $$A$$: для вершины $$A$$ — это $$0$$, для всех других вершин она пока неизвестна и обозначена знаком $$\infty$$ («бесконечность»). Найдите кратчайшее расстояние от вершины $$A$$ до всех остальных вершин графа, действуя в соответствии с приведённым ниже алгоритмом Дейкстры.
- Обведите вершину $$A$$, имеющую минимальную метку ($$0$$). Укажите её соседей — вершины, в которые идут рёбра из вершины $$A$$.
- Установите очередность соседних с $$A$$ вершин (по возрастанию длины пути между $$A$$ и соседней вершиной):
1) первой по очереди идёт вершина _, потому что длина пути между $$A$$ и _ является минимальной;
2) второй по очереди идёт вершина _;
3) третьей по очереди идёт вершина _. - В порядке установленной выше очередности измените метки для соседних с $$A$$ вершин: вычислите сумму метки вершины $$A$$ (обведённой вершины) и длины ребра, идущего из неё в очередную соседнюю вершину; если полученная сумма меньше текущей метки очередной вершины, то эту сумму запишите в качестве метки очередной вершины. После просмотра всех соседей вершины $$A$$ вычеркните её из графа.
- Повторите действия 1–3 для оставшихся вершин, каждый раз выбирая из них вершину, имеющую минимальную метку.
Кратчайшее расстояние из $$A$$ в $$B$$ равно
из $$A$$ в $$C$$ равно
из $$A$$ в $$D$$ равно
из $$A$$ в $$E$$ равно
из $$A$$ в $$A$$ равно
Применим алгоритм Дейкстры к графу.
Соседи вершины A: B, D, C.
Упорядочим их по возрастанию длины ребра от вершины A:
- первая — вершина B, так как $$AB=5$$;
- вторая — вершина D, так как $$AD=10$$;
- третья — вершина C, так как $$AC=15$$.
После обработки вершины A получаем метки:
$$B=5,\quad D=10,\quad C=15.$$
Далее выбираем вершину с минимальной меткой среди невычеркнутых — это B.
Соседи вершины B: D и E.
Проверяем новые расстояния:
- до D: $$5+9=14$$, это больше текущей метки $$10$$, значит метка не меняется;
- до E: $$5+14=19$$, значит $$E=19$$.
Теперь минимальная метка у вершины D. Её соседи — C, E, F.
Проверяем:
- до C: $$10+3=13$$, значит метка C уменьшается до $$13$$;
- до E: $$10+10=20$$, это больше текущей метки $$19$$;
- до F: $$10+8=18$$, значит $$F=18$$.
Оставшиеся метки уже не улучшаются, поэтому кратчайшие расстояния от вершины A такие:
$$A=0,\quad B=5,\quad C=13,\quad D=10,\quad E=19,\quad F=18.$$
Ответ
$$A=0,\ B=5,\ C=13,\ D=10,\ E=19,\ F=18.$$
