Упр.3.89 ГДЗ Сборник упражнений Босова 7-9 класс (Информатика)
Максимальное число областей, на которые плоскость делится $$n$$ прямыми, можно вычислить с помощью соотношения: $$L(0)=1,\quad L(n)=L(n-1)+n$$ при натуральном $$n\geqslant1$$. Каково максимальное число областей, на которые плоскость делится десятью прямыми? Вычисления фиксируйте в таблице. Сделайте рисунки для случаев $$n=3$$ и $$n=4$$.
По условию:
$$L(0)=1,$$
$$L(n)=L(n-1)+n,\quad n\ge 1.$$
Вычислим значения последовательно:
| $$n$$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $$L(n)$$ | 1 | 2 | 4 | 7 | 11 | 16 | 22 | 29 | 37 | 46 | 56 |
Для десяти прямых получаем:
$$L(10)=56.$$
Проверим по рекуррентной формуле:
$$L(1)=1+1=2,$$
$$L(2)=2+2=4,$$
$$L(3)=4+3=7,$$
$$L(4)=7+4=11,$$
$$L(5)=11+5=16,$$
$$L(6)=16+6=22,$$
$$L(7)=22+7=29,$$
$$L(8)=29+8=37,$$
$$L(9)=37+9=46,$$
$$L(10)=46+10=56.$$
Для случаев $$n=3$$ и $$n=4$$ можно изобразить прямые так, чтобы каждая новая прямая пересекала все предыдущие и не была параллельна им. Тогда число областей будет равно соответственно $$7$$ и $$11$$.
Ответ: $$56$$.
