Упр.2.37 ГДЗ Сборник упражнений Босова 7-9 класс (Информатика)

Задача

Один человек имел $$102$$ монеты. Он поровну разделил их между двумя своими сыновьями. Каждому досталось по $$12$$ монет и одна осталась лишней. Какая система счисления использовалась? Укажите количество монет в десятичной системе.

Подробный ответ

Пусть основание системы счисления равно $$x$$. Тогда число $$102_x$$ означает

$$102_x = 1\cdot x^2 + 0\cdot x + 2 = x^2 + 2.$$

По условию, после деления между двумя сыновьями получилось по $$12_x$$ монет каждому и одна монета осталась:

$$12_x + 12_x + 1 = 102_x.$$

Запишем числа в развернутом виде:

$$\left(x+2\right) + \left(x+2\right) + 1 = x^2 + 2.$$

Получаем:

$$2x + 5 = x^2 + 2,$$

$$x^2 — 2x — 3 = 0,$$

$$\left(x-3\right)\left(x+1\right)=0.$$

Так как основание системы счисления должно быть больше 2, то $$x=3$$.