Задание 9 Параграф 1.3 ГДЗ Босова 8 класс (Информатика)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Босова, Босова 8 класс, Бином: 9. Проведите доказательство рассмотренных в параграфе логических законов с помощью таблиц истинности. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 bosova8 1-3/9 832
Проверим логические законы с помощью таблиц истинности. Если в соответствующих столбцах значения совпадают при всех наборах переменных, то закон доказан.
1. Переместительный (коммутативный) закон
$$A \land B = B \land A$$
$$A \lor B = B \lor A$$
| A | B | A&B | B&A | A∨B | B∨A |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
2. Сочетательный (ассоциативный) закон
$$\left(A \land B\right)\land C = A \land \left(B \land C\right)$$
$$\left(A \lor B\right)\lor C = A \lor \left(B \lor C\right)$$
| A | B | C | (A&B)&C | A&(B&C) | (A∨B)∨C | A∨(B∨C) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
3. Распределительный (дистрибутивный) закон
$$A \land (B \lor C) = (A \land B)\lor(A \land C)$$
$$A \lor (B \land C) = (A \lor B)\land(A \lor C)$$
| A | B | C | B∨C | A&(B∨C) | A&B | A&C | (A&B)∨(A&C) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| A | B | C | B&C | A∨(B&C) | A∨B | A∨C | (A∨B)&(A∨C) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
4. Закон двойного отрицания
$$\overline{\overline{A}} = A$$
| A | Ā | Ā̄ |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
5. Закон исключения третьего
$$A \land \overline{A} = 0$$
$$A \lor \overline{A} = 1$$
| A | Ā | A&Ā | A∨Ā |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
6. Закон повторения
$$A \land A = A$$
$$A \lor A = A$$
| A | A&A | A∨A |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
7. Законы операций с 0 и 1
$$A \land 0 = 0$$
$$A \lor 1 = 1$$
| A | A&0 | A∨1 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
8. Законы общей инверсии
$$\overline{A \land B} = \overline{A} \lor \overline{B}$$
$$\overline{A \lor B} = \overline{A} \land \overline{B}$$
| A | B | A&B | Ā&B̄ | Ā | B̄ | Ā∨B̄ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| A | B | A∨B | Ā∨B̄ | Ā | B̄ | Ā&B̄ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Ответ
Все рассмотренные в параграфе логические законы подтверждаются таблицами истинности.
