Упр.92 ГДЗ Рабочая тетрадь Босова 8 класс 2016 (Информатика)

Задача

В поездке пятеро друзей — Антон, Борис, Вадим, Дмитрий и Григорий — знакомились с попутчицей. Они предложили ей отгадать их фамилии, причём каждый из них высказал одно истинное и одно ложное утверждения.
Дмитрий сказал: «Моя фамилия — Мишин, а фамилия Бориса — Хохлов».
Антон сказал: «Мишин — это моя фамилия, а фамилия Вадима — Белкин».
Борис сказал: «Фамилия Вадима — Тихонов, а моя фамилия — Мишин».
Вадим сказал: «Моя фамилия — Белкин, а фамилия Григория — Чехов».
Григорий сказал: «Да, моя фамилия Чехов, а фамилия Антона — Тихонов».
Какую фамилию носит каждый из друзей?
Решите задачу, составив и преобразовав логическое выражение.

Подробный ответ

Обозначим высказывания:

$$A_1$$ — «фамилия Антона — Мишин», $$A_2$$ — «фамилия Вадима — Белкин»;
$$B_1$$ — «фамилия Вадима — Тихонов», $$B_2$$ — «фамилия Бориса — Мишин»;
$$D_1$$ — «фамилия Дмитрия — Мишин», $$D_2$$ — «фамилия Бориса — Хохлов»;
$$V_1$$ — «фамилия Вадима — Белкин», $$V_2$$ — «фамилия Григория — Чехов»;
$$G_1$$ — «фамилия Григория — Чехов», $$G_2$$ — «фамилия Антона — Тихонов».

По условию в каждом из пяти ответов одно утверждение истинно, а другое ложно, значит для каждого человека выполняется логическое «исключающее или», а все пять ответов вместе должны быть истинны:

$$(D_1 \oplus D_2)\land(A_1 \oplus A_2)\land(B_1 \oplus B_2)\land(V_1 \oplus V_2)\land(G_1 \oplus G_2)=1$$

Рассмотрим высказывание Дмитрия. Если бы $$D_1$$ было истинным, то фамилия Дмитрия была бы Мишин, а тогда из ответа Бориса следовало бы, что $$B_2$$ ложно, то есть Борис не Мишин. Но тогда в ответе Бориса должно быть истинным $$B_1$$: фамилия Вадима — Тихонов. Это противоречит ответу Вадима, где одно из утверждений — «моя фамилия Белкин». Следовательно, $$D_1$$ ложно, а $$D_2$$ истинно.

Значит, фамилия Бориса — Хохлов.

Тогда в ответе Бориса утверждение $$B_2$$ истинно, а $$B_1$$ ложно, то есть фамилия Вадима не Тихонов. Следовательно, у Вадима истинно $$V_1$$, а значит, фамилия Вадима — Белкин.

Из ответа Антона тогда получаем: $$A_2$$ истинно, а $$A_1$$ ложно, значит фамилия Антона не Мишин. В ответе Григория при этом истинно $$G_1$$, то есть фамилия Григория — Чехов, а $$G_2$$ ложно.

Остаётся единственная неиспользованная фамилия — Мишин. Её носит Дмитрий.