Задание 1 Вариант 2 Самостоятельная работа 8 ГДЗ Рабочая тетрадь Босова 11 класс (Информатика)

1. Петя и Вася играют в «Камешки». В начальной позиции у игроков есть кучка из 700 камешков; за один ход игрок может взять 1 или 2 камешка. Выигрывает тот, кто своим ходом забирает последний камешек (последние камешки).
Проанализируйте начало числовой линейки и выясните, какие позиции являются выигрышными, а какие проигрышными в этой игре.
Для кого из игроков существует выигрышная стратегия в этой игре? Опишите выигрышную стратегию для этого игрока.
Если в конце игры останется в кучке 3 камушка, то проиграет игрок, делающий ход. Он может взять только один или два камушка, и последний забирает следующий игрок.
Выигрышная позиция будет у игрока, который будет после своего хода оставлять в кучке число камней, кратное 3.
Выигрышная позиция в данном примере у первого игрока, т.е. для Пети. Ему надо каждым своим ходом создавать проигрышную позицию для Вани – делать в кучке число камушков, кратное 3.

Если в кучке осталось $$3$$ камешка, то игрок, который ходит, проигрывает: он может взять только $$1$$ или $$2$$ камешка, а последний камешек заберёт следующий игрок.

Значит, проигрышными являются позиции, в которых число камешков кратно $$3$$. Из такой позиции любой ход переводит соперника в выигрышную позицию.

Следовательно, выигрышная стратегия есть у первого игрока — Пети. Ему нужно после каждого своего хода оставлять в кучке число камешков, кратное $$3$$.

Проверим для начальной позиции: $$700 \equiv 1 \pmod{3}$$. Петя первым ходом берёт $$1$$ камешек и оставляет $$699$$, а это число кратно $$3$$. Далее он каждый раз отвечает так, чтобы после его хода в кучке снова было кратное $$3$$ число камешков.

Ответ

Выигрышная стратегия есть у Пети. Он должен первым ходом взять $$1$$ камешек, а затем каждый раз оставлять в кучке число камешков, кратное $$3$$.