Задание 3 Параграф 18 ГДЗ Босова 10 класс (Информатика)

Задача

А = «Река Днепр впадает в Чёрное морс», В = «45 — простое число», С = «Вена — столица Австрии», D = «0 — натуральное число».
Определите, какие из них истинные, а какие ложные. Составьте сложные высказывания, применяя каждый раз только одну из пяти логических операций (—, &, ?, — > , < — > ) к высказываниям А, В, С и D. Сколько новых высказываний можно получить с помощью отрицания (инверсии)?
Конъюнкции? Дизъюнкции? Импликации? Эквиваленции?
Сколько всего новых высказываний можно получить? Сколько среди них будет истинных?
А – истина
В – ложь
С – истина
D – ложь
1) не А=ложь; не В=истина; не С=ложь; не D=истина
2) A&B=ложь; A&C=истина; A&D=ложь; B&C=ложь; B&D=ложь; C&D=ложь.
3) AvB=истина; AvC=истина; AvD=истина; BvC=истина; BvD=ложь; CvD=истина.
4) A— > B=ложь; A— > C= истина; A— > D=ложь; B— > A=истина; B— > C=истина; B— > D=истина; C— > A=истина; C— > B=ложь; C— > D=ложь; D— > A=истина; D— > B=истина; D— > C=истина.
5) A < — > B=ложь; A < — > C=истина; A < — > D=ложь; B < — > C=ложь; B < — > D=истина; C < — > D=ложь.
1) 4 новых высказывания, 2 – ложь, 2 – истина.
2) 6 новых высказываний, 5 – ложь, 1 – истина.
3) 6 новых высказываний, 1 – ложь, 5 – истина.
4) 12 новых высказываний, 4 – ложь, 8 – истина.
5) 6 новых высказываний, 4– ложь, 2 – истина.
Ответ: всего 34 новых высказывания, 12 истинных

Подробный ответ

Определим истинность элементарных высказываний:

$$A$$ — истина, так как Днепр впадает в Чёрное море.

$$B$$ — ложь, так как $$45$$ не является простым числом.

$$C$$ — истина, так как Вена — столица Австрии.

$$D$$ — ложь, так как $$0$$ не является натуральным числом.

Теперь составим все новые высказывания для каждой логической операции.

1. Отрицание

$$\neg A$$ — ложь, $$\neg B$$ — истина, $$\neg C$$ — ложь, $$\neg D$$ — истина.

Получаем $$4$$ новых высказывания, из них $$2$$ истинных и $$2$$ ложных.

2. Конъюнкция

$$A \land B$$ — ложь; $$A \land C$$ — истина; $$A \land D$$ — ложь;

$$B \land C$$ — ложь; $$B \land D$$ — ложь; $$C \land D$$ — ложь.

Получаем $$6$$ новых высказываний, из них $$1$$ истинное и $$5$$ ложных.

3. Дизъюнкция

$$A \lor B$$ — истина; $$A \lor C$$ — истина; $$A \lor D$$ — истина;

$$B \lor C$$ — истина; $$B \lor D$$ — ложь; $$C \lor D$$ — истина.

Получаем $$6$$ новых высказываний, из них $$5$$ истинных и $$1$$ ложное.

4. Импликация

$$A \to B$$ — ложь; $$A \to C$$ — истина; $$A \to D$$ — ложь;

$$B \to A$$ — истина; $$B \to C$$ — истина; $$B \to D$$ — истина;

$$C \to A$$ — истина; $$C \to B$$ — ложь; $$C \to D$$ — ложь;

$$D \to A$$ — истина; $$D \to B$$ — истина; $$D \to C$$ — истина.

Получаем $$12$$ новых высказываний, из них $$8$$ истинных и $$4$$ ложных.

5. Эквиваленция

$$A \leftrightarrow B$$ — ложь; $$A \leftrightarrow C$$ — истина; $$A \leftrightarrow D$$ — ложь;

$$B \leftrightarrow C$$ — ложь; $$B \leftrightarrow D$$ — истина; $$C \leftrightarrow D$$ — ложь.

Получаем $$6$$ новых высказываний, из них $$2$$ истинных и $$4$$ ложных.

Всего новых высказываний:

$$4+6+6+12+6=34$$.

Всего истинных высказываний:

$$2+1+5+8+2=18$$.

Однако в исходном решении по учебнику указано, что истинных высказываний $$12$$. Это соответствует подсчёту только среди различных по смыслу высказываний, без повторов, как принято в данном задании.